C

添加$AD=BC$，可以判定四边形$EHFG$为菱形，理由：
$\because$点$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$CD$，$AC$，$BD$的中点，
$\therefore FG$∥$AD$，$FG=\frac{1}{2}AD,EH$∥$AD$，$EH=\frac{1}{2}AD$，$FH=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore EH=FG=\frac{1}{2}AD,EH$∥$FG$，
$\therefore$四边形$EHFG$为平行四边形，
$\therefore$当$AD=BC$时，$FG=FH$，
$\therefore$四边形$EHFG$为菱形.
故选：$C$.