C

$A$、长方形的面积一定，其长与宽是函数，故$A$正确；
$B$、正方形的周长与面积是函数，故$B$正确；
$C$、长方形的周长与面积不是函数，故$C$错误；
$D$、圆的面积与圆的半径是函数，故$D$正确；
故选：$C$.