我国是历史上较早发现并运用"勾股定理"的国家之一.古人将直角三角形中较短的直角边称为"勾",较长的直角边称为"股",斜边称为"弦","勾股定理"因此而得名.勾股定理:若直角三角形两直角边长分别为$a$、$b$,斜边长为$c$,则有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
请运用"勾股定理"解决下列问题.

$(1)$如图$1$,直角三角形的两条直角边分别是$9$厘米和$12$厘米,则这个直角三角形的斜边长______厘米.
$(2)$如图$2$,分别以直角三角形的边为边长作正方形,则$S_{1}=a^{2}$,$S_{2}=$______,$S_{3}=\_\_\_\_\_\_.$根据勾股定理可知,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以$S_{1}+\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
$(3)$如图$3$,圆柱的高为$4$厘米、底面半径为$1$厘米.在圆柱底面$A$点有一只蚂蚁,它想吃到与$A$点相对的$B$点处的食物,需要爬行的最短路程是多少厘米?$(\pi$取$3)$
下面是小林的思考过程,请你帮他补充完整.
①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形,如图$4$所示$(A$点的位置已经给出）,请在图中标出$B$点的位置并连接$AB$.
②小林认为线段$AB$的长度是蚂蚁爬行的最短路程,那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米?