勾股定理具有丰富的文化内涵,它揭示了直角三角形的三边关系,搭建起几何与代数之间的桥梁,为解决几何问题拓宽了思路.请完成下面问题:
$(1)$如图$1$,"赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为$b$,较短直角边长为$a$,若$\left(a+b\right)^{2}=21$,大正方形的面积为$13$,则小正方形的面积是多少?
$(2)$同学们在探索过程中发现,当把赵爽弦图里的$4$个全等的直角三角形适当拼合,可以得到如图的图形,设直角三角形的直角边分别为$a$、$b$,斜边为$c$,利用这个图形也可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗?