C

如图，电路由$L_{1}$和$L_{2}$串联而成，当开关闭合后，由于电流表并联在$L_{2}$两端，则$L_{2}$被电流表短路，使得电路中电流的流动路径如图中红线所示，所以$L_{1}$中有电流通过可以发光，$L_{2}$中无电流通过，不会发光。
故选：$C$。