A

$\because$顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形，
理由如下：
$\because E$、$F$、$G$、$H$分别为各边中点，
$\therefore EF$∥$GH$∥$AC$，$EH=FG=\frac{1}{2}DB$，
$EF=HG=\frac{1}{2}AC,EH$∥$FG$∥$BD$
$\because DB\bot AC$，
$\therefore EF\bot EH$，
$\therefore$四边形$EFGH$是矩形，
$\because EH=\frac{1}{2}BD=3$，$EF=\frac{1}{2}AC=4$，
$\therefore HF=\sqrt{E{H}^{2}+E{F}^{2}}=5$.
故选：$A$.