连接$HF$、$EG$，
$\because$正方形$ABCD$的面积为$4$，
$\therefore BC$∥$AD$，$BC=AD$，
$\because H$、$F$分别为边$AD$、$BC$的中点，
$\therefore$四边形$BFHA$是平行四边形，
$\therefore AB=HF,AB$∥$HF$，
同理$BC=EG,BC$∥$EG$，
$\because AB\bot BC$，
$\therefore HF\bot EG$，
$\therefore$四边形$EFGH$的面积是$\frac{1}{2}EG\times HF=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$.
故答案为：$2$.

连接$HF$、$EG$，
$\because$正方形$ABCD$的面积为$4$，
$\therefore BC$∥$AD$，$BC=AD$，
$\because H$、$F$分别为边$AD$、$BC$的中点，
$\therefore$四边形$BFHA$是平行四边形，
$\therefore AB=HF,AB$∥$HF$，
同理$BC=EG,BC$∥$EG$，
$\because AB\bot BC$，
$\therefore HF\bot EG$，
$\therefore$四边形$EFGH$的面积是$\frac{1}{2}EG\times HF=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$.
故答案为：$2$.