$(1)$证明：$\because G$，$H$分别是$BD$，$AC$的中点，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
$\therefore FG$是$\triangle BCD$的中位线，$EF$是$\triangle ADC$的中位线，
$\therefore EH$∥$CD$，$EH=\frac{1}{2}CD$，
$FG$∥$CD$，$FG=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore EH$∥$FG$，
$\because EH=FG$，
$\therefore$四边形$EGFH$是平行四边形；
$(2)$$EF\bot GH$，
理由如下：
$\because F$是$BC$的中点，
$H$是$AC$的中点，
$\therefore FH$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore FH=\frac{1}{2}AB$，
$\because AB=DC$，
$\therefore FH=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore FH=EH$，
$\because$四边形$EGFH$是平行四边形，
$\therefore$四边形$EGFH$是菱形.

$(1)$证明：$\because G$，$H$分别是$BD$，$AC$的中点，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
$\therefore FG$是$\triangle BCD$的中位线，$EF$是$\triangle ADC$的中位线，
$\therefore EH$∥$CD$，$EH=\frac{1}{2}CD$，
$FG$∥$CD$，$FG=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore EH$∥$FG$，
$\because EH=FG$，
$\therefore$四边形$EGFH$是平行四边形；
$(2)$$EF\bot GH$，
理由如下：
$\because F$是$BC$的中点，
$H$是$AC$的中点，
$\therefore FH$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore FH=\frac{1}{2}AB$，
$\because AB=DC$，
$\therefore FH=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore FH=EH$，
$\because$四边形$EGFH$是平行四边形，
$\therefore$四边形$EGFH$是菱形.