B

$\because E$、$F$、$G$、$H$分别是$BD$、$BC$、$AC$、$AD$的中点，
$\therefore EF$、$FG$、$GH$、$HE$分别为$\triangle BCD$、$\triangle ABC$、$\triangle ADC$、$\triangle ABD$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CD$，$FG=\frac{1}{2}AB$，$HG=\frac{1}{2}CD$，$EH=\frac{1}{2}AB$，
$\because AB=CD$，
$\therefore EF=FG=GH=HE$，
$\therefore$四边形$EFGH$为菱形，
$\therefore EG\bot FH$，
故①正确，②错误；
如图，$EG \lt \frac{1}{2}BC$，③错误；
四边形$EFGH$周长$=EF+FG+GH+HE=2AB$，
故④正确；
故选：$B$.