$(1)$证明：$\because$点$D$、$E$分别为$AB$、$AC$的中点，点$G$、$F$分别为$BH$、$CH$的中点，
$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，$GF$是$\triangle HBC$的中位线，
$\therefore DE$∥$BC$，$DE=\frac{1}{2}BC,GF$∥$BC$，$GF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE$∥$GF$，$DE=GF$，
$\therefore$四边形$DEFG$为平行四边形；
$(2)$$\because$四边形$DEFG$为平行四边形，
$\therefore DG=EF=2\sqrt{2}$，
$\because AC\bot BH$，
$\therefore DG\bot BH$，
$\therefore \angle DGB=90^{\circ}$，
$\therefore BG=\sqrt{B{D}^{2}-D{G}^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{19}$，
即线段$BG$的长度为$\sqrt{19}$.

$(1)$证明：$\because$点$D$、$E$分别为$AB$、$AC$的中点，点$G$、$F$分别为$BH$、$CH$的中点，
$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，$GF$是$\triangle HBC$的中位线，
$\therefore DE$∥$BC$，$DE=\frac{1}{2}BC,GF$∥$BC$，$GF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE$∥$GF$，$DE=GF$，
$\therefore$四边形$DEFG$为平行四边形；
$(2)$$\because$四边形$DEFG$为平行四边形，
$\therefore DG=EF=2\sqrt{2}$，
$\because AC\bot BH$，
$\therefore DG\bot BH$，
$\therefore \angle DGB=90^{\circ}$，
$\therefore BG=\sqrt{B{D}^{2}-D{G}^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{19}$，
即线段$BG$的长度为$\sqrt{19}$.