C

$A$、$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，本组数是勾股数，不符合题意；
$B$、$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，本组数是勾股数，不符合题意；
$C$、$12^{2}+16^{2}\neq 18^{2}$，本组数不是勾股数，符合题意；
$D$、$8^{2}+15^{2}=17^{2}$，本组数不是勾股数，不符合题意，
故选：$C$.