B

$\because$将一根长为$36cm$的筷子，置于底面直径为$7cm$，高为$24cm$的圆柱形水杯中，
$\therefore$在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
$\therefore$当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，$h=36-24=12\left(cm\right)$，
最长时等于杯子斜边长度是：$\sqrt{2{4}^{2}+{7}^{2}}=25(cm)$，
此时$h=36-25=11$，
$\therefore h$的取值范围是：$11\leqslant h\leqslant 12$，
即$h$的最小值是$11$.
故选：$B$.