C

$A$、只闭合$S_{1}$时，由于没有闭合$S_{2}$，因此$L_{2}$所在支路断开，只有灯泡$L_{1}$发光、$L_{2}$不发光，故$A$错误；
$B$、若灯$L_{1}$被短路，闭合$S_{1}$、$S_{2}$后，电流会从电源正极经过电流表回负极，电源和电流表会被烧坏，而电压表因为没有电流流过，所以不会被烧坏，故$B$错误；
$C$、因为并联电路电源电压等于各支路电压，且各支路互相不影响，电压表测电源电压，所以先闭合$S_{1}$，再闭合$S_{2}$时，电压表的示数不变，故$C$正确；
$D$、由于电压表相当于断路，若电压表和电流表位置对调，电压表串联在电路中，则闭合$S_{1}$、$S_{2}$后，电流表无示数，故$D$错误。
故选：$C$。