A

电压表并联在电路中，在电路中可以看作开路；电流表必须串联在电路中，在电路中相当于导线；
①③、若甲是电流表，乙是电压表，则电路中有两条电流的路径，此时$L_{1}$和$L_{2}$并联在电路中，$L_{1}$和$L_{2}$均能发光，电流表测灯$L_{2}$的电流，故①③正确；
②、若$L_{1}$和$L_{2}$串联，则乙表应为电流表，此时下方的导线会将$L_{1}$短路$(L_{1}$不发光），不能形成串联电路，故②错误；
④、若甲是电压表，乙是电流表，$L_{2}$被短路，灯$L_{2}$不发光，电路是灯$L_{1}$的简单电路，不符合题意，故④错误。
故选：$A$。