小胖的话不对.
小胖说“真可惜$!$我现在只能将你最高翘到$1$米高”，情形如图$1$所示.

$OP$是标准跷跷板支架的高度，$AC$是跷跷板一端能翘到的最高高度$1$米，$BC$是地面.
$\because OP\bot BC$，$AC\bot BC$，$\angle OBP=\angle ABC$，
$\therefore \triangle OBP$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{BO}{BA}=\frac{OP}{AC}$，
又$\because$此跷跷板是标准跷跷板，$BO=OA$，
$\therefore \frac{BO}{AB}=\frac{1}{2}$，
而$AC=1$米，得$OP=0.5$米；
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为$a$米$\left(a \gt 0\right)$.如图$2$所示，

$BD=a$米，$AE=a$米，
$\because BO=OA$，
$\therefore BO+a=OA+a$，即$DO=OE$.
$\therefore \frac{DO}{DE}=\frac{1}{2}$，同理可得$\triangle DOP$∽$\triangle DEF$，
$\therefore \frac{DO}{DE}=\frac{OP}{EF}$，由$OP=0.5$米，得$EF=1$米.
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架$OP$高度的两倍，所以不可能翘得更高.

小胖的话不对.
小胖说“真可惜$!$我现在只能将你最高翘到$1$米高”，情形如图$1$所示.

$OP$是标准跷跷板支架的高度，$AC$是跷跷板一端能翘到的最高高度$1$米，$BC$是地面.
$\because OP\bot BC$，$AC\bot BC$，$\angle OBP=\angle ABC$，
$\therefore \triangle OBP$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{BO}{BA}=\frac{OP}{AC}$，
又$\because$此跷跷板是标准跷跷板，$BO=OA$，
$\therefore \frac{BO}{AB}=\frac{1}{2}$，
而$AC=1$米，得$OP=0.5$米；
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为$a$米$\left(a \gt 0\right)$.如图$2$所示，

$BD=a$米，$AE=a$米，
$\because BO=OA$，
$\therefore BO+a=OA+a$，即$DO=OE$.
$\therefore \frac{DO}{DE}=\frac{1}{2}$，同理可得$\triangle DOP$∽$\triangle DEF$，
$\therefore \frac{DO}{DE}=\frac{OP}{EF}$，由$OP=0.5$米，得$EF=1$米.
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架$OP$高度的两倍，所以不可能翘得更高.