（1）路灯$P$的位置如图所示；

$(2)$如图，由题意可得：$AD=BC=1.5$，$AM=5$，$BN=2$，$AB=10$，
$\because PQ\bot OQ$，$CB\bot OQ$，
$\therefore BC$∥$PQ$，
$\therefore \triangle CBN$∽$\triangle PQN$，
$\therefore \frac{{BC}}{{PQ}}=\frac{{BN}}{{QN}}$，
$\because PQ\bot OQ$，$AD\bot OQ$，
$\therefore AD$∥$PQ$，
$\therefore \triangle DAM$∽$\triangle PQM$，
$\therefore \frac{{AD}}{{PQ}}=\frac{{AM}}{{QM}}$，
$\because AD=BC$，
$\therefore \frac{{BN}}{{QN}}=\frac{{AM}}{{QM}}$，
$\therefore \frac{2}{{BQ+2}}=\frac{5}{{BQ+5+10}}$，
解得：$BQ=\frac{{20}}{3}$，
经检验：$BQ=\frac{{20}}{3}$是原方程的解，
$\therefore QN=BQ+BN=\frac{{26}}{3}$，
$\therefore \frac{{1.5}}{{PQ}}=\frac{2}{{\frac{{26}}{3}}}$，
解得：$PQ=\frac{{13}}{2}$，
经检验：$PQ=\frac{{13}}{2}$是原方程的解，
$\therefore$路灯$P$到地面的距离$PQ$为$\frac{{13}}{2}$米.

（1）路灯$P$的位置如图所示；

$(2)$如图，由题意可得：$AD=BC=1.5$，$AM=5$，$BN=2$，$AB=10$，
$\because PQ\bot OQ$，$CB\bot OQ$，
$\therefore BC$∥$PQ$，
$\therefore \triangle CBN$∽$\triangle PQN$，
$\therefore \frac{{BC}}{{PQ}}=\frac{{BN}}{{QN}}$，
$\because PQ\bot OQ$，$AD\bot OQ$，
$\therefore AD$∥$PQ$，
$\therefore \triangle DAM$∽$\triangle PQM$，
$\therefore \frac{{AD}}{{PQ}}=\frac{{AM}}{{QM}}$，
$\because AD=BC$，
$\therefore \frac{{BN}}{{QN}}=\frac{{AM}}{{QM}}$，
$\therefore \frac{2}{{BQ+2}}=\frac{5}{{BQ+5+10}}$，
解得：$BQ=\frac{{20}}{3}$，
经检验：$BQ=\frac{{20}}{3}$是原方程的解，
$\therefore QN=BQ+BN=\frac{{26}}{3}$，
$\therefore \frac{{1.5}}{{PQ}}=\frac{2}{{\frac{{26}}{3}}}$，
解得：$PQ=\frac{{13}}{2}$，
经检验：$PQ=\frac{{13}}{2}$是原方程的解，
$\therefore$路灯$P$到地面的距离$PQ$为$\frac{{13}}{2}$米.