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八年级数学解答题一般
题目
勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具,也是数形结合的纽带之一.如图,有一架秋千,当它静止在ADAD的位置时,踏板离地的垂直高度为0.7m0.7m,将秋千ADAD往前推送2m2m,到达ABAB的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度为1.7m1.7m,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)(1)求秋千ADAD的长度；
(2)(2)如果将秋千ADAD往前推送1.5m1.5m,求此时踏板离地的垂直高度为多少?
知识点：勾股定理的应用章节：第三章 勾股定理 / 3.3 勾股定理的应用举例

答案与解析

答案

（1）由题意知BF=1.7mBF=1.7m，BC=2mBC=2m，DE=0.7mDE=0.7m，
∵BF⊥EF\because BF\bot EF，AE⊥EFAE\bot EF，BC⊥AEBC\bot AE，
∴\therefore四边形BCEFBCEF是矩形，
∴CE=BF=1.7\therefore CE=BF=1.7，
∴CD=CE−DE=1.7−0.7=1m\therefore CD=CE-DE=1.7-0.7=1m
∵BC⊥AC\because BC\bot AC，
∴∠ACB=90∘\therefore \angle ACB=90^{\circ}，
设秋千的长度为xmx m，则AB=AD=xmAB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)mAC=AD-CD=\left(x-1\right)m，
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，即(x−1)2+22=x2\left(x-1\right)^{2}+2^{2}=x^{2}，
解得x=52x=\frac{5}{2}，
即秋千ADAD的长度是52m\frac{5}{2}m；
(2)(2)设BF=ymBF=y m时，则CE=ymCE=y m，
∵DE=0.7m\because DE=0.7m，
∴CD=CE−DE=(y−0.7)m\therefore CD=CE-DE=\left(y-0.7\right)m，
由（1）可知，AD=AB=52mAD=AB=\frac{5}{2}m，
∴AC=AD−CD=52−−(y−0.7)=(3.2−y)m\therefore AC=AD-CD=\frac{5}{2}--\left(y-0.7\right)=\left(3.2-y\right)m，
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，BC=1.5mBC=1.5m，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，则(3.2−y)2+1.52=2.52\left(3.2-y\right)^{2}+1.5^{2}=2.5^{2}，
解得y=1.2y=1.2，
即此时踏板离地的垂直高度为1.2m1.2m.

解析

（1）由题意知BF=1.7mBF=1.7m，BC=2mBC=2m，DE=0.7mDE=0.7m，
∵BF⊥EF\because BF\bot EF，AE⊥EFAE\bot EF，BC⊥AEBC\bot AE，
∴\therefore四边形BCEFBCEF是矩形，
∴CE=BF=1.7\therefore CE=BF=1.7，
∴CD=CE−DE=1.7−0.7=1m\therefore CD=CE-DE=1.7-0.7=1m
∵BC⊥AC\because BC\bot AC，
∴∠ACB=90∘\therefore \angle ACB=90^{\circ}，
设秋千的长度为xmx m，则AB=AD=xmAB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)mAC=AD-CD=\left(x-1\right)m，
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，即(x−1)2+22=x2\left(x-1\right)^{2}+2^{2}=x^{2}，
解得x=52x=\frac{5}{2}，
即秋千ADAD的长度是52m\frac{5}{2}m；
(2)(2)设BF=ymBF=y m时，则CE=ymCE=y m，
∵DE=0.7m\because DE=0.7m，
∴CD=CE−DE=(y−0.7)m\therefore CD=CE-DE=\left(y-0.7\right)m，
由（1）可知，AD=AB=52mAD=AB=\frac{5}{2}m，
∴AC=AD−CD=52−−(y−0.7)=(3.2−y)m\therefore AC=AD-CD=\frac{5}{2}--\left(y-0.7\right)=\left(3.2-y\right)m，
在Rt△ABCRt\triangle ABC中，BC=1.5mBC=1.5m，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，则(3.2−y)2+1.52=2.52\left(3.2-y\right)^{2}+1.5^{2}=2.5^{2}，
解得y=1.2y=1.2，
即此时踏板离地的垂直高度为1.2m1.2m.

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