D

$A$、由图知，同时闭合$S_{1}$、$S_{2}$，两灯并联，根据并联电路的电压规律，两灯的电压相同，但两灯的规格不一定相同（电阻不一定相同），由欧姆定律$I=\frac{U}{R}$可知，通过两灯泡的电流不一定相同，故$A$错误；
$B$、若灯$L_{1}$短路，闭合$S_{1}$、$S_{2}$后，则灯$L_{2}$也会短路，此时两灯都不亮，故$B$错误；
$C$、由图知，若电压表和电流表的位置对调，电压表串联在电路中测电源电压，电流表与$L_{1}$并联，因电压表的内阻很大，则电路的电流很小，且所测电压（电源电压约为$3V)$没有超过电压表的量程$\left(0\sim 15V\right)$，所以两表都不会被烧坏，故$C$错误；
$D$、若先闭合$S_{1}$，电路为$L_{1}$的简单电路，电压表测电源电压；再闭合$S_{2}$时，两灯并联，电压表仍然测电源电压，因电源电压保持不变，则电压表示数不变，故$D$正确。
故选：$D$。