如图,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点$G$处,手电筒的光从平面镜上点$B$处反射后,恰好经过木板的边缘点$F$,落在墙上的点$E$处.点$E$到地面的高度$DE=3.5m$,点$F$到地面的高度$CF=1.5m$,灯泡到木板的水平距离$AC=5.4m$,墙到木板的水平距离为$CD=4m$.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角,图中点$A$、$B$、$C$、$D$在同一水平面上.
$(1)$求$BC$的长.
$(2)$求灯泡到地面的高度$AG$.