如图，

连接$AE$，根据题意可知$AB_{1}=AD=1$，$\angle B_{1}=\angle D=90^{\circ}$，$\angle BAB_{1}=30^{\circ}$，
在$Rt\triangle AB_{1}E$和$Rt\triangle ADE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{{AB}_{1}=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle AB_{1}E$≌$Rt\triangle ADE\left(HL\right)$，
$\because \angle B_{1}AE=\angle DAE=\frac{1}{2}\angle B_{1}AD=30^{\circ}$，
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore S_{四边形ADEB\_{1}}=2S_{\triangle ADE}=2\times \frac{1}{2}\times AD\times DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore S_{阴影部分}=2(S_{正方形ABCD}-S_{四边形ADEB\_{1}})=2\times (1-\frac{\sqrt{3}}{3})=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

连接$AE$，根据旋转的性质推出$Rt\triangle AB_{1}E$≌$Rt\triangle ADE$，再由含$30$度角的直角三角形性质得出$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，最后由图可以得出$S_{阴影部分}=2(S_{正方形ABCD}-S_{四边形ADEB\_{1}})$，将相关数值代入求解即可.

【点评】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，需要注意数形结合，将不规则的阴影部分的面积转化为规则图形的面积来求.

如图，

连接$AE$，根据题意可知$AB_{1}=AD=1$，$\angle B_{1}=\angle D=90^{\circ}$，$\angle BAB_{1}=30^{\circ}$，
在$Rt\triangle AB_{1}E$和$Rt\triangle ADE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{{AB}_{1}=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle AB_{1}E$≌$Rt\triangle ADE\left(HL\right)$，
$\because \angle B_{1}AE=\angle DAE=\frac{1}{2}\angle B_{1}AD=30^{\circ}$，
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore S_{四边形ADEB\_{1}}=2S_{\triangle ADE}=2\times \frac{1}{2}\times AD\times DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore S_{阴影部分}=2(S_{正方形ABCD}-S_{四边形ADEB\_{1}})=2\times (1-\frac{\sqrt{3}}{3})=2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

连接$AE$，根据旋转的性质推出$Rt\triangle AB_{1}E$≌$Rt\triangle ADE$，再由含$30$度角的直角三角形性质得出$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，最后由图可以得出$S_{阴影部分}=2(S_{正方形ABCD}-S_{四边形ADEB\_{1}})$，将相关数值代入求解即可.

【点评】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，需要注意数形结合，将不规则的阴影部分的面积转化为规则图形的面积来求.