小袁作为大学生返乡的新农人,致力于科技种菜.如图是小袁要修建的一个长方形蔬菜大棚.蔬菜大棚的一边靠墙,墙长$22m$,其余三边用竹篱笆围,篱笆的总长度为$45m$,围成的长方形蔬菜大棚四周没有空隙.
$(1)$若围成的蔬菜大棚的面积为$250m^{2}$,则蔬菜大棚的长和宽各应为多少米?
$(2)$围成的蔬菜大棚的面积能达到$260m^{2}$吗?如果能,写出计算过程；如果不能,说明理由.