$\because \triangle ABC$为边长为$6$的等边三角形，且$AD\bot BC$，(已知）

$\therefore AB=AC=BC=6$，(等边三角形的三边长相等）

$\therefore BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=3$，(三线合一）

在$Rt\triangle ABD$中，由$AB=6$，$BD=3$，

根据勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=3\sqrt{3}$.

故选$C$