$(1)$如图$1$,$\triangle ABC$和$\triangle CDE$都是等边三角形,且$B$、$C$、$D$三点共线,连结$AD$、$BE$相交于点$P$,求证:$BE=AD$.
$(2)$如图$2$,在$\triangle BCD$中,$\angle BCD \lt 120^{\circ}$,分别以$BC$、$CD$和$BD$为边在$\triangle BCD$外部作等边三角形$ABC$、等边三角形$CDE$和等边三角形$BDF$,连结$AD$、$BE$和$CF$交于点$P$,下列结论中:①$AD=BE=CF$；②$\angle BEC=\angle ADC$；③$\angle DPE=\angle EPC=\angle CPA=60^{\circ}$.正确的是______$(只填序号即可)$；
$(3)$如图$2$,把（2）的条件和正确结论作为条件,求证:$PB+PC+PD=BE$.