如图,已知矩形$ABCD$中,$AB=1$,$BC=2$,点$P$是边$AD$上一动点,过点$P$作$PE\bot AC$,垂足为点$E$,联结$BE$,过点$E$作$EF\bot BE$,交边$AD$于点$F($点$F$与点$A$不重合).
$(1)$当$F$是$AP$的中点时,求证:$BA=BE$；
$(2)$当$AP$的长度取不同值时,在$\triangle PEF$中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；
$(3)$延长$PE$交边$BC$于点$G$,联结$FG$,$\triangle EFG$与$\triangle AEF$能否相似,若能相似,求出此时$AP$的长；若不能相似,请说明理由.
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