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九年级数学解答题一般
题目
如图,已知矩形ABCDABCD中,AB=1AB=1,BC=2BC=2,点PP是边ADAD上一动点,过点PP作PE⊥ACPE\bot AC,垂足为点EE,联结BEBE,过点EE作EF⊥BEEF\bot BE,交边ADAD于点F(F(点FF与点AA不重合).
(1)(1)当FF是APAP的中点时,求证:BA=BEBA=BE；
(2)(2)当APAP的长度取不同值时,在△PEF\triangle PEF中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；
(3)(3)延长PEPE交边BCBC于点GG,联结FGFG,△EFG\triangle EFG与△AEF\triangle AEF能否相似,若能相似,求出此时APAP的长；若不能相似,请说明理由.
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知识点：勾股定理、勾股定理的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似形综合题章节：第6章 图形的相似 / 6.7 用相似三角形解决问题

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵PE⊥AC\because PE\bot AC，FF是APAP中点，
∴AF=EF\therefore AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA\therefore \angle FAE=\angle FEA，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴∠ACB=∠DAE=∠AEF\therefore \angle ACB=\angle DAE=\angle AEF，
又∵∠AEF+∠AEB=90∘\because \angle AEF+\angle AEB=90^{\circ}，∠BAC+∠ACB=90∘\angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠BAC=∠AEB\therefore \angle BAC=\angle AEB，
∴BA=BE\therefore BA=BE；

(2)(2)存在PFPF长度不变.
∵AD⊥CD\because AD\bot CD，PE⊥AEPE\bot AE，
∴tan⁡∠CAD=CDAD=PEAE=12\therefore \tan \angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{2}，
∵∠AEP=∠FEB=90∘\because \angle AEP=\angle FEB=90^{\circ}，
∴∠AEB=∠PEF\therefore \angle AEB=\angle PEF，
又∵∠BAE+∠CAD=90∘\because \angle BAE+\angle CAD=90^{\circ}，∠CAD+∠APE=90∘\angle CAD+\angle APE=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠APE\therefore \angle BAE=\angle APE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE∽△PFE\triangle PFE，
∴PFAB=PEAE=12\therefore \frac{PF}{AB}=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{2}，
∴PF=12\therefore PF=\frac{1}{2}；

(3)(3)能相似.
连接FGFG，过PP作PH⊥BCPH\bot BC于HH，如图：

∴PH=AB=1\therefore PH=AB=1，
∵PG⊥AC\because PG\bot AC，
∴∠GPH=∠ACB\therefore \angle GPH=\angle ACB，
∴GH=PH⋅tan⁡∠ACB=12\therefore GH=PH\cdot \tan \angle ACB=\frac{1}{2}，
由（2）知，PF=12PF=\frac{1}{2}，
∴GH=PF\therefore GH=PF，
又∵PF\because PF∥GHGH，
∴\therefore四边形GHPFGHPF为矩形，
∴∠PAE=∠PGF\therefore \angle PAE=\angle PGF，
∴\therefore当∠AFE=∠FEG\angle AFE=\angle FEG时,△AEF,\triangle AEF∽△GFE\triangle GFE，
∴∠PFE=∠PEF\therefore \angle PFE=\angle PEF，
∴PE=PF=12\therefore PE=PF=\frac{1}{2}，
∴AE=2PE=1\therefore AE=2PE=1，
∴AP=52\therefore AP=\frac{\sqrt{5}}{2}.

解析

(1)(1)证明：∵PE⊥AC\because PE\bot AC，FF是APAP中点，
∴AF=EF\therefore AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA\therefore \angle FAE=\angle FEA，
∵AD\because AD∥BCBC，
∴∠ACB=∠DAE=∠AEF\therefore \angle ACB=\angle DAE=\angle AEF，
又∵∠AEF+∠AEB=90∘\because \angle AEF+\angle AEB=90^{\circ}，∠BAC+∠ACB=90∘\angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠BAC=∠AEB\therefore \angle BAC=\angle AEB，
∴BA=BE\therefore BA=BE；

(2)(2)存在PFPF长度不变.
∵AD⊥CD\because AD\bot CD，PE⊥AEPE\bot AE，
∴tan⁡∠CAD=CDAD=PEAE=12\therefore \tan \angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{2}，
∵∠AEP=∠FEB=90∘\because \angle AEP=\angle FEB=90^{\circ}，
∴∠AEB=∠PEF\therefore \angle AEB=\angle PEF，
又∵∠BAE+∠CAD=90∘\because \angle BAE+\angle CAD=90^{\circ}，∠CAD+∠APE=90∘\angle CAD+\angle APE=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠APE\therefore \angle BAE=\angle APE，
∴△ABE\therefore \triangle ABE∽△PFE\triangle PFE，
∴PFAB=PEAE=12\therefore \frac{PF}{AB}=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{2}，
∴PF=12\therefore PF=\frac{1}{2}；

(3)(3)能相似.
连接FGFG，过PP作PH⊥BCPH\bot BC于HH，如图：

∴PH=AB=1\therefore PH=AB=1，
∵PG⊥AC\because PG\bot AC，
∴∠GPH=∠ACB\therefore \angle GPH=\angle ACB，
∴GH=PH⋅tan⁡∠ACB=12\therefore GH=PH\cdot \tan \angle ACB=\frac{1}{2}，
由（2）知，PF=12PF=\frac{1}{2}，
∴GH=PF\therefore GH=PF，
又∵PF\because PF∥GHGH，
∴\therefore四边形GHPFGHPF为矩形，
∴∠PAE=∠PGF\therefore \angle PAE=\angle PGF，
∴\therefore当∠AFE=∠FEG\angle AFE=\angle FEG时,△AEF,\triangle AEF∽△GFE\triangle GFE，
∴∠PFE=∠PEF\therefore \angle PFE=\angle PEF，
∴PE=PF=12\therefore PE=PF=\frac{1}{2}，
∴AE=2PE=1\therefore AE=2PE=1，
∴AP=52\therefore AP=\frac{\sqrt{5}}{2}.

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