（1）如图$1$，$\because \triangle ABC$是等边三角形$,PQ$∥$AC$，
$\therefore \angle BQP=\angle C=60^{\circ}$，$\angle BPQ=\angle A=60^{\circ}$，
又$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle BQP=\angle BPQ$，
$\therefore \triangle BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
由题意可知：$AP=t$，则$BP=9-t$，
$\therefore 9-t=6$，
解得：$t=3$，
$\therefore$当$t$的值为$3$时$,PQ$∥$AC$；
$(2)$如图$2$，①当点$Q$在边$BC$上时，

此时$\triangle APQ$不可能为等边三角形；
②当点$Q$在边$AC$上时，

若$\triangle APQ$为等边三角形，则$AP=AQ$，
由题意可知，$AP=t$，$BC+CQ=2t$，
$\therefore AQ=BC+AC-\left(BC+CQ\right)=9+9-2t=18-2t$，
即：$18-2t=t$，解得：$t=6$，
$\therefore$当$t=6$时，$\triangle APQ$为等边三角形.

（1）如图$1$，$\because \triangle ABC$是等边三角形$,PQ$∥$AC$，
$\therefore \angle BQP=\angle C=60^{\circ}$，$\angle BPQ=\angle A=60^{\circ}$，
又$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle BQP=\angle BPQ$，
$\therefore \triangle BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
由题意可知：$AP=t$，则$BP=9-t$，
$\therefore 9-t=6$，
解得：$t=3$，
$\therefore$当$t$的值为$3$时$,PQ$∥$AC$；
$(2)$如图$2$，①当点$Q$在边$BC$上时，

此时$\triangle APQ$不可能为等边三角形；
②当点$Q$在边$AC$上时，

若$\triangle APQ$为等边三角形，则$AP=AQ$，
由题意可知，$AP=t$，$BC+CQ=2t$，
$\therefore AQ=BC+AC-\left(BC+CQ\right)=9+9-2t=18-2t$，
即：$18-2t=t$，解得：$t=6$，
$\therefore$当$t=6$时，$\triangle APQ$为等边三角形.