如图所示,直线$y=-\frac{3}{4}x+b$与$x$轴相交于点$A\left(4,0\right)$,与$y$轴相交于点$B$,将$\triangle AOB$沿着$y$轴折叠,使点$A$落在$x$轴上,点$A$的对应点为点$C$.
$(1)$求点$C$的坐标；
$(2)$设点$P$为线段$CA$上的一个动点,点$P$与点$A$、$C$不重合,连接$PB$,以点$P$为端点作射线$PM$交$AB$于点$M$,使$\angle BPM=\angle BAC$
①求证:$\triangle PBC$∽$\triangle MPA$；
②是否存在点$P$使$\triangle PBM$为直角三角形?若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.