在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时,始终存在一对全等三角形.通过查询资料,他们得知这种模型称为"手拉手模型",兴趣小组进行了如下操作:
$(1)$观察猜想
如图$1$,在$\triangle ABC$中,分别以$AB$,$AC$为边向外作等腰直角$\triangle ABD$和等腰直角$\triangle ACE$,$\angle BAD=\angle CAE=90^{\circ}$,连接$BE$,$CD$,则$BE$与$CD$的数量关系为______,位置关系为______；
$(2)$类比探究
如图$2$,在$\triangle ABC$中,分别以$AB$,$AC$为边作等腰直角$\triangle ABD$和等腰直角$\triangle ACE.\angle BAD=\angle CAE=90^{\circ}$,点$D$,$E$,$C$在同一直线上,$AM$为$\triangle ACE$中$CE$边上的高,猜想$DC$,$BC$,$AM$之间的数量关系并说明理由；
$(3)$解决问题
运用$\left(1\right)\left(2\right)$中所积累的经验和知识,完成下题:如图$3$,要测量池塘两岸相对的两点$D$,$C$的距离,已经测得$\angle ACB=45^{\circ}$,$\angle DAB=90^{\circ}$,$AB=AD$,$AC=15\sqrt{2}$米,$BC=40$米,$CD$的长为______米.
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