题目
已知:如图,在菱形
ABCD中,点
E是边
DC上的任意一点（不与点
D、
C重合
),AE交对角线
BD于
F,过点
E作
EG∥BC交
BD于点
G.
(1)问题探究:求证:
DF2=FG⋅BF；
(2)迁移运用:当
AE⊥DC时,求证:
BD⋅DF=2AD⋅DE.
知识点：相似形综合题章节：第6章 图形的相似 / 6.7 用相似三角形解决问题
答案与解析
答案
证明：
(1)∵四边形
ABCD是菱形，
∴ED∥AB,AD∥BC，
∴△EFD∽△AFB，
∴BFDF=AFEF.
∵EG∥BC,AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴△EFG∽△AFD，
∴DFFG=AFEF，
∴BFDF=DFFG，
∴DF2=FG⋅BF；
(2)连接
AC交
BD于点
H，则
AC⊥BD，
DH=BH，
如图所示，
∴BD=2DH，
∵AE⊥DC，
∴∠DEF=∠DHC=90∘，
∵∠FDE=∠CDH，
∴△FDE∽△CDH，
∴DCDF=DHDE，
∴DH⋅DF=DC⋅DE，
∴2DH⋅DF=2DC⋅DE，
∵BD=2DH，且
AD=DC，
∴BD⋅DF=2AD⋅DE.
解析
证明：
(1)∵四边形
ABCD是菱形，
∴ED∥AB,AD∥BC，
∴△EFD∽△AFB，
∴BFDF=AFEF.
∵EG∥BC,AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴△EFG∽△AFD，
∴DFFG=AFEF，
∴BFDF=DFFG，
∴DF2=FG⋅BF；
(2)连接
AC交
BD于点
H，则
AC⊥BD，
DH=BH，
如图所示，
∴BD=2DH，
∵AE⊥DC，
∴∠DEF=∠DHC=90∘，
∵∠FDE=∠CDH，
∴△FDE∽△CDH，
∴DCDF=DHDE，
∴DH⋅DF=DC⋅DE，
∴2DH⋅DF=2DC⋅DE，
∵BD=2DH，且
AD=DC，
∴BD⋅DF=2AD⋅DE.
