C

$\because \triangle ABD$和$\triangle ACE$是$\triangle ABC$的轴对称图形，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE=\angle BAC$，$AB=AE$，$AC=AD$，
$\therefore \angle EAD=3\angle BAC-360^{\circ}=3\times 150^{\circ}-360^{\circ}=90^{\circ}$，故①正确.
$\therefore \angle BAE=\angle CAD=\frac{1}{2}(360^{\circ}-90^{\circ}-150^{\circ})=60^{\circ}$，
由翻折的性质得，$\angle AEC=\angle ABD=\angle ABC$，
又$\because \angle EPO=\angle BPA$，
$\therefore \angle BOE=\angle BAE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC=120^{\circ}$，故②正确.
由题意可知：$\triangle ACE$≌$\triangle ADB$，
$\therefore S_{\triangle ACE}=S_{\triangle ADB}$，$BD=CE$，
$\therefore BD$边上的高与$CE$边上的高相等，
即点$A$到$\angle BOC$两边的距离相等，
$\therefore OA$平分$\angle BOC$，故③正确；
$\because AC^{2}=3AB^{2}$，
$\therefore AC=\sqrt{3}AB$，
$\because \angle EAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=30^{\circ}$，
$\therefore EA=\frac{1}{2}ED$，
$\therefore ED=2EA$，故④正确；
在$\triangle ABP$和$\triangle AEQ$中，$\angle ABD=\angle AEC$，$AB=AE$，$\angle BAE=60^{\circ}$，$\angle EAQ=90^{\circ}$，
$\therefore BP \lt EQ$，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共$4$个.
故选：$C$.