A

如图，连接$BP$，
过点$P$作$PM\bot AB$交$y$轴于$N$，
此时$PN+MN$的值最小，最小值是$PM$，

$\because A\left(-3,0\right)$，$B\left(0,4\right)$，$P\left(2,0\right)$，
$\therefore AP=2-\left(-3\right)=5$，$OB=4$，
$\therefore {S}_{△ABP}=\frac{1}{2}AB•PM=\frac{1}{2}AP•OB$，
$\therefore PM=\frac{AP•OB}{AB}=\frac{5×4}{5}=4$，
故选：$A$.