如图，连接$OB$、$OC$，

$\because \angle BAC=52^{\circ}$，$AO$为$\angle BAC$的平分线，

$\therefore \angle BAO=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\dfrac{1}{2}\times 52^{\circ}=26^{\circ}$，

又$\because AB=AC$，

$\therefore \angle ABC=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-52^{\circ}\right)=64^{\circ}$，

$\because DO$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore OA=OB$，

$\therefore \angle ABO=\angle BAO=26^{\circ}$，

$\therefore \angle OBC=\angle ABC-\angle ABO=64^{\circ}-26^{\circ}=38^{\circ}$，

$\because AO$为$\angle BAC$的平分线，$AB=AC$，

$\therefore OB=OC$，

$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上，

又$\because DO$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore$点$O$是$\triangle ABC$的外心，

$\therefore \angle OCB=\angle OBC=38^{\circ}$，

$\because$将$\angle C$沿$EF(E$在$BC$上，$F$在$AC$上）折叠，点$C$与点$O$恰好重合，

$\therefore OE=CE$，

$\therefore \angle COE=\angle OCB=38^{\circ}$，

在$\triangle OCE$中，$\angle OEC=180^{\circ}-\angle COE-\angle OCB=180^{\circ}-38^{\circ}-38^{\circ}=104^{\circ}$.

故答案为：$104$.

如图，连接$OB$、$OC$，

$\because \angle BAC=52^{\circ}$，$AO$为$\angle BAC$的平分线，

$\therefore \angle BAO=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\dfrac{1}{2}\times 52^{\circ}=26^{\circ}$，

又$\because AB=AC$，

$\therefore \angle ABC=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-52^{\circ}\right)=64^{\circ}$，

$\because DO$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore OA=OB$，

$\therefore \angle ABO=\angle BAO=26^{\circ}$，

$\therefore \angle OBC=\angle ABC-\angle ABO=64^{\circ}-26^{\circ}=38^{\circ}$，

$\because AO$为$\angle BAC$的平分线，$AB=AC$，

$\therefore OB=OC$，

$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上，

又$\because DO$是$AB$的垂直平分线，

$\therefore$点$O$是$\triangle ABC$的外心，

$\therefore \angle OCB=\angle OBC=38^{\circ}$，

$\because$将$\angle C$沿$EF(E$在$BC$上，$F$在$AC$上）折叠，点$C$与点$O$恰好重合，

$\therefore OE=CE$，

$\therefore \angle COE=\angle OCB=38^{\circ}$，

在$\triangle OCE$中，$\angle OEC=180^{\circ}-\angle COE-\angle OCB=180^{\circ}-38^{\circ}-38^{\circ}=104^{\circ}$.

故答案为：$104$.