C

（方法一）作点$D$关于$x$轴的对称点${D\’}$，连接$CD\’$交$x$轴于点$P$，此时$PC+PD$值最小，如图所示.

令$y=\frac{2}{3}x+4$中$x=0$，则$y=4$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(0,4\right)$；
令$y=\frac{2}{3}x+4$中$y=0$，则$\frac{2}{3}x+4=0$，解得：$x=-6$，
$\therefore$点$A$的坐标为$\left(-6,0\right)$.
$\because$点$C$、$D$分别为线段$AB$、$OB$的中点，
$\therefore$点$C\left(-3,2\right)$，点$D\left(0,2\right)$.
$\because$点${D\’}$和点$D$关于$x$轴对称，
$\therefore$点${D\’}$的坐标为$\left(0,-2\right)$.
设直线$CD\’$的解析式为$y=kx+b$，
$\because$直线$CD\’$过点$C\left(-3,2\right)$，${D\’}\left(0,-2\right)$，
$\therefore$有$\left\{\begin{array}{l}{2=-3k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$CD\’$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x-2$.
令$y=-\frac{4}{3}x-2$中$y=0$，则$0=-\frac{4}{3}x-2$，解得：$x=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2}$，$0)$.
故选$C$.
$($方法二）连接$CD$，作点$D$关于$x$轴的对称点${D\’}$，连接$CD\’$交$x$轴于点$P$，此时$PC+PD$值最小，如图所示.
令$y=\frac{2}{3}x+4$中$x=0$，则$y=4$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(0,4\right)$；
令$y=\frac{2}{3}x+4$中$y=0$，则$\frac{2}{3}x+4=0$，解得：$x=-6$，
$\therefore$点$A$的坐标为$\left(-6,0\right)$.
$\because$点$C$、$D$分别为线段$AB$、$OB$的中点，
$\therefore$点$C\left(-3,2\right)$，点$D\left(0,2\right),CD$∥$x$轴，
$\because$点${D\’}$和点$D$关于$x$轴对称，
$\therefore$点${D\’}$的坐标为$\left(0,-2\right)$，点$O$为线段$DD\’$的中点.
又$\because OP$∥$CD$，
$\therefore$点$P$为线段$CD\’$的中点，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2}$，$0)$.
故选：$C$.