$\because$三角形的三边长分别为$6$，$9$，$a$，

$\therefore 9-6 \lt a \lt 9+6$，

$\therefore 3 \lt a \lt 15$，

不等式组整理得$\left\{\begin{array}{l}{x\color{red}{≤}\frac{a+1}{2}}\\{x\color{red}{＞}3}\end{array}\right.$，

由不等式组至少有四个整数解，得到$\frac{a+1}{2}\geqslant 7$，

解得a≥13

又因为3

$\therefore$整数$a$的值是13，14

故答案为：13，14

$\because$三角形的三边长分别为$6$，$9$，$a$，

$\therefore 9-6 \lt a \lt 9+6$，

$\therefore 3 \lt a \lt 15$，

不等式组整理得$\left\{\begin{array}{l}{x\color{red}{≤}\frac{a+1}{2}}\\{x\color{red}{＞}3}\end{array}\right.$，

由不等式组至少有四个整数解，得到$\frac{a+1}{2}\geqslant 7$，

解得a≥13

又因为3

$\therefore$整数$a$的值是13，14

故答案为：13，14