解不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-1}{3}≤5\\ \frac{3x-5}{2}＞5\end{array}\right.$，得到：$5 \lt x\leqslant 8$，
$\because$三角形的边$AB$，边$BC$的长度分别是不等式的最大整数解与最小整数解，
$\therefore AB=8$，$BC=6$，
$\therefore 8-6 \lt AC \lt 8+6$，
$\therefore 2 \lt AC \lt 14$，
$\because \triangle ABC$的周长是奇数，$AB+BC=14$，
$\therefore \triangle ABC$的第三条边$AC$的长度的最小值为$3$.
故答案为：$3$.

解不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-1}{3}≤5\\ \frac{3x-5}{2}＞5\end{array}\right.$，得到：$5 \lt x\leqslant 8$，
$\because$三角形的边$AB$，边$BC$的长度分别是不等式的最大整数解与最小整数解，
$\therefore AB=8$，$BC=6$，
$\therefore 8-6 \lt AC \lt 8+6$，
$\therefore 2 \lt AC \lt 14$，
$\because \triangle ABC$的周长是奇数，$AB+BC=14$，
$\therefore \triangle ABC$的第三条边$AC$的长度的最小值为$3$.
故答案为：$3$.