$\left(1\right)\because AB$、$AD$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$的两个实数根，$AB$的长为$5$，
$\therefore$把$x=5$代入$x^{2}-8x+m=0$，得：
$5^{2}-8\times 5+m=0$，
解得：$m=15$；
$(2)\because$平行四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore$方程$x^{2}-8x+m=0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =\left(-8\right)^{2}-4m=0$，
$\therefore m=16$，
此时方程为$x^{2}-8x+16=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=4$，
$\therefore AB=AD=4$，即菱形的边长为$4$；
答：$m=16$，平行四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长是$4$；
$(3)$不能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$，
假设能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$，
则$AB^{2}+AD^{2}=27$，即$\left(AB+AD\right)^{2}-2AB\cdot AD=27$，
又$AB+AD=8$，$AB\cdot AD=m$，
$\therefore 64-2m=27$，
解得$m=\frac{37}{2}$，
$\because \Delta =64-4m\geqslant 0$，
$\therefore m\leqslant 16$，
则$m=\frac{37}{2}$不符合题意，
故不能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$.

$\left(1\right)\because AB$、$AD$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$的两个实数根，$AB$的长为$5$，
$\therefore$把$x=5$代入$x^{2}-8x+m=0$，得：
$5^{2}-8\times 5+m=0$，
解得：$m=15$；
$(2)\because$平行四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore$方程$x^{2}-8x+m=0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =\left(-8\right)^{2}-4m=0$，
$\therefore m=16$，
此时方程为$x^{2}-8x+16=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=4$，
$\therefore AB=AD=4$，即菱形的边长为$4$；
答：$m=16$，平行四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长是$4$；
$(3)$不能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$，
假设能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$，
则$AB^{2}+AD^{2}=27$，即$\left(AB+AD\right)^{2}-2AB\cdot AD=27$，
又$AB+AD=8$，$AB\cdot AD=m$，
$\therefore 64-2m=27$，
解得$m=\frac{37}{2}$，
$\because \Delta =64-4m\geqslant 0$，
$\therefore m\leqslant 16$，
则$m=\frac{37}{2}$不符合题意，
故不能围成一个对角线为$3\sqrt{3}$的矩形$ABCD$.