（1）当$AB=AD$时，四边形$ABCD$是菱形，即方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根相等，
$\therefore m^{2}-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$，
解得：$m=1$，
此时方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，
解得：$x=\frac{1}{2}$，
$\therefore$这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$；

$(2)$根据题意知，$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$AD=\frac{1}{2}$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$的周长是$2\times (2+\frac{1}{2})=5$；

$(3)\because$方程的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m$，$x_{1}x_{2}=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，
代入到$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=5m$，可得$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-3m+9=5m$，
解得：$m=\frac{7}{6}$.

（1）当$AB=AD$时，四边形$ABCD$是菱形，即方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根相等，
$\therefore m^{2}-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$，
解得：$m=1$，
此时方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，
解得：$x=\frac{1}{2}$，
$\therefore$这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$；

$(2)$根据题意知，$\left\{\begin{array}{l}{2+AD=m}\\{2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$AD=\frac{1}{2}$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$的周长是$2\times (2+\frac{1}{2})=5$；

$(3)\because$方程的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m$，$x_{1}x_{2}=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，
代入到$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=5m$，可得$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-3m+9=5m$，
解得：$m=\frac{7}{6}$.