$(1)$证明：在▱$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$\angle CAB=\angle ACB$，
$\therefore BA=BC$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形；
$\therefore AC\bot BD$；
$(2)$在菱形$ABCD$中，$AC\bot BD$，$OA=OC$，
$\because AB=5$，$AC=8$，
$\therefore BO=\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
$\because BE\bot AB$，
$\therefore \angle BEA+\angle EAB=90^{\circ}$，$\angle BEA+\angle EBO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle EBO$，
$\therefore \triangle BEO$∽$\triangle ABO$，
$\therefore \frac{BO}{EO}=\frac{AO}{BO}$，即$\frac{3}{EO}=\frac{4}{3}$，
解得：$EO=\frac{9}{4}$.

$(1)$证明：在▱$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$\angle CAB=\angle ACB$，
$\therefore BA=BC$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形；
$\therefore AC\bot BD$；
$(2)$在菱形$ABCD$中，$AC\bot BD$，$OA=OC$，
$\because AB=5$，$AC=8$，
$\therefore BO=\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
$\because BE\bot AB$，
$\therefore \angle BEA+\angle EAB=90^{\circ}$，$\angle BEA+\angle EBO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle EBO$，
$\therefore \triangle BEO$∽$\triangle ABO$，
$\therefore \frac{BO}{EO}=\frac{AO}{BO}$，即$\frac{3}{EO}=\frac{4}{3}$，
解得：$EO=\frac{9}{4}$.