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八年级数学解答题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},∠B=30∘\angle B=30^{\circ},ADAD平分∠CAB\angle CAB,延长ACAC至EE,使CE=ACCE=AC.
(1)(1)求证:DE=DBDE=DB；
(2)(2)连接BEBE,试判断△ABE\triangle ABE的形状,并说明理由.
知识点：线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定方法、含30°角的直角三角形、等边三角形的判定与性质章节：第二章 轴对称 / 2.2 简单的轴对称图形

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，∠ABC=30∘\angle ABC=30^{\circ}，
∴BC⊥AE\therefore BC\bot AE，∠CAB=60∘\angle CAB=60^{\circ}，
∵AD\because AD平分∠CAB\angle CAB，
∴∠DAB=12∠CAB=30∘=∠ABC\therefore \angle DAB=\frac{1}{2}\angle CAB=30^{\circ}=\angle ABC，
∴DA=DB\therefore DA=DB，
∵CE=AC\because CE=AC，
∴BC\therefore BC是线段AEAE的垂直平分线，
∴DE=DA\therefore DE=DA，
∴DE=DB\therefore DE=DB；
(2)△ABE(2)\triangle ABE是等边三角形；理由如下：
连接BEBE，如图：
∵BC\because BC是线段AEAE的垂直平分线，
∴BA=BE\therefore BA=BE，
即△ABE\triangle ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60∘\because \angle CAB=60^{\circ}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE是等边三角形.

解析

(1)(1)证明：∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，∠ABC=30∘\angle ABC=30^{\circ}，
∴BC⊥AE\therefore BC\bot AE，∠CAB=60∘\angle CAB=60^{\circ}，
∵AD\because AD平分∠CAB\angle CAB，
∴∠DAB=12∠CAB=30∘=∠ABC\therefore \angle DAB=\frac{1}{2}\angle CAB=30^{\circ}=\angle ABC，
∴DA=DB\therefore DA=DB，
∵CE=AC\because CE=AC，
∴BC\therefore BC是线段AEAE的垂直平分线，
∴DE=DA\therefore DE=DA，
∴DE=DB\therefore DE=DB；
(2)△ABE(2)\triangle ABE是等边三角形；理由如下：
连接BEBE，如图：
∵BC\because BC是线段AEAE的垂直平分线，
∴BA=BE\therefore BA=BE，
即△ABE\triangle ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60∘\because \angle CAB=60^{\circ}，
∴△ABE\therefore \triangle ABE是等边三角形.

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