证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle EAO=\angle FCO$，
$\because EF$垂直平分$AC$，
$\therefore OA=OC.EA=EC$，
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle COF\left(ASA\right)$，
$\therefore OE=OF$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形，
$\because EA=EC$，
$\therefore$平行四边形$AECF$是菱形.

证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle EAO=\angle FCO$，
$\because EF$垂直平分$AC$，
$\therefore OA=OC.EA=EC$，
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle COF\left(ASA\right)$，
$\therefore OE=OF$，
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形，
$\because EA=EC$，
$\therefore$平行四边形$AECF$是菱形.