$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$CB$，
$\therefore \angle ODM=\angle OBN$，
$\because MN$垂直平分$BD$，
$\therefore OD=OB$，
在$\triangle ODM$和$\triangle OBN$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠ODM=∠OBN\\ OD=OB\\∠DOM=∠BON\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ODM$≌$\triangle OBN\left(ASA\right)$，
$\therefore DM=BN$，
$\because DM=BM$，$DN=BN$，
$\therefore DM=BM=DN=BN$，
$\therefore$四边形$BMDN$是菱形；
$(2)$$\because$四边形$BMDN$是菱形，
$\therefore DM=BM$，
$\because \angle D=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，
$\therefore AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$，$AM=4-DM$，
$\because DM=BM$，
$\therefore 3^{2}+\left(4-DM\right)^{2}=DM^{2}$，
解得：$DM=\frac{25}{8}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB\bot DM$，
$\therefore {S}_{菱形BMDN}=DM•AB=\frac{25}{8}×3=\frac{75}{8}$，
$\therefore$菱形$BMDN$的面积为$\frac{75}{8}$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$CB$，
$\therefore \angle ODM=\angle OBN$，
$\because MN$垂直平分$BD$，
$\therefore OD=OB$，
在$\triangle ODM$和$\triangle OBN$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠ODM=∠OBN\\ OD=OB\\∠DOM=∠BON\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ODM$≌$\triangle OBN\left(ASA\right)$，
$\therefore DM=BN$，
$\because DM=BM$，$DN=BN$，
$\therefore DM=BM=DN=BN$，
$\therefore$四边形$BMDN$是菱形；
$(2)$$\because$四边形$BMDN$是菱形，
$\therefore DM=BM$，
$\because \angle D=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，
$\therefore AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$，$AM=4-DM$，
$\because DM=BM$，
$\therefore 3^{2}+\left(4-DM\right)^{2}=DM^{2}$，
解得：$DM=\frac{25}{8}$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB\bot DM$，
$\therefore {S}_{菱形BMDN}=DM•AB=\frac{25}{8}×3=\frac{75}{8}$，
$\therefore$菱形$BMDN$的面积为$\frac{75}{8}$.