$(1)$证明：$\because$点$E$，$F$分别是$AD$，$DC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ADC$的中线，
$\therefore EF$∥$AC,$则$EG$∥$AC$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD$∥$BC,$则$AE$∥$CG$，
$\therefore$四边形$ACGE$是平行四边形.
$(2)$取$BC$的中点$H$，连接$AH$，
$\because AC$∥$GE$，
$\therefore \angle ACD=\angle FGC=60^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC=4$，
$\therefore AH\bot BC$，
在$Rt\triangle AHC$中，$\angle AHB=90^{\circ}$，
$\therefore AH=\sqrt{A{C}^{2}-H{C}^{2}}=\sqrt{A{C}^{2}-({\frac{1}{2}BC)}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$.
$\because$四边形$AEGC$是平行四边形，
$\therefore AE=GC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore GH=HC+GC=2+2=4$，
在$Rt\triangle AGH$中，
根据勾股定理得，$AG=\sqrt{A{H}^{2}+H{G}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{7}$.

$(1)$证明：$\because$点$E$，$F$分别是$AD$，$DC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ADC$的中线，
$\therefore EF$∥$AC,$则$EG$∥$AC$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD$∥$BC,$则$AE$∥$CG$，
$\therefore$四边形$ACGE$是平行四边形.
$(2)$取$BC$的中点$H$，连接$AH$，
$\because AC$∥$GE$，
$\therefore \angle ACD=\angle FGC=60^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC=AC=4$，
$\therefore AH\bot BC$，
在$Rt\triangle AHC$中，$\angle AHB=90^{\circ}$，
$\therefore AH=\sqrt{A{C}^{2}-H{C}^{2}}=\sqrt{A{C}^{2}-({\frac{1}{2}BC)}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$.
$\because$四边形$AEGC$是平行四边形，
$\therefore AE=GC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore GH=HC+GC=2+2=4$，
在$Rt\triangle AGH$中，
根据勾股定理得，$AG=\sqrt{A{H}^{2}+H{G}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{7}$.