$\left(1\right)\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore \Delta =0$，即$m^{2}-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$，
整理得：$\left(m-1\right)^{2}=0$，
解得$m=1$，
当$m=1$时，原方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，
解得：$x_{1}=x_{2}=0.5$，
故当$m=1$时，四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长是$0.5$；

$(2)$把$AB=2$代入原方程得，$m=2.5$，
把$m=2.5$代入原方程得$x^{2}-2.5x+1=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=0.5$，
$\therefore C_{▱ABCD}=2\times \left(2+0.5\right)=5$.

$\left(1\right)\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore \Delta =0$，即$m^{2}-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$，
整理得：$\left(m-1\right)^{2}=0$，
解得$m=1$，
当$m=1$时，原方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，
解得：$x_{1}=x_{2}=0.5$，
故当$m=1$时，四边形$ABCD$是菱形，菱形的边长是$0.5$；

$(2)$把$AB=2$代入原方程得，$m=2.5$，
把$m=2.5$代入原方程得$x^{2}-2.5x+1=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=0.5$，
$\therefore C_{▱ABCD}=2\times \left(2+0.5\right)=5$.