$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB$∥$CD$，$OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore \angle ABE=\angle CDF$，
$\because$点$E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB$，$DF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore BE=DF$，
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle CDF\left(SAS\right)$；
$(2)$当$AC=2AB$时，四边形$EGCF$是矩形；理由如下：
$\because AC=2OA$，$AC=2AB$，
$\therefore AB=OA$，
$\because E$是$OB$的中点，
$\therefore AG\bot OB$，
$\therefore \angle OEG=90^{\circ}$，
同理：$CF\bot OD$，
$\therefore AG$∥$CF$，
$\therefore EG$∥$CF$，
由（1）得：$\triangle ABE$≌$\triangle CDF$，
$\therefore AE=CF$，
$\because EG=AE$，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore$四边形$EGCF$是平行四边形，
$\because \angle OEG=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$EGCF$是矩形.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB$∥$CD$，$OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore \angle ABE=\angle CDF$，
$\because$点$E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB$，$DF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore BE=DF$，
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle CDF\left(SAS\right)$；
$(2)$当$AC=2AB$时，四边形$EGCF$是矩形；理由如下：
$\because AC=2OA$，$AC=2AB$，
$\therefore AB=OA$，
$\because E$是$OB$的中点，
$\therefore AG\bot OB$，
$\therefore \angle OEG=90^{\circ}$，
同理：$CF\bot OD$，
$\therefore AG$∥$CF$，
$\therefore EG$∥$CF$，
由（1）得：$\triangle ABE$≌$\triangle CDF$，
$\therefore AE=CF$，
$\because EG=AE$，
$\therefore EG=CF$，
$\therefore$四边形$EGCF$是平行四边形，
$\because \angle OEG=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$EGCF$是矩形.