$(1)$证明：$\because BE$∥$AC,AE$∥$BD$，
$\therefore$四边形$AEBO$是平行四边形，
又$\because$菱形$ABCD$对角线交于点$O$，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEBO$为矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC=16$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=8$，$OB=OD$，$AC\bot BD$，
$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore AB=OE=10$，
$\therefore OB=\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\therefore BD=2OB=12$，
$\therefore$菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 16\times 12=96$.

$(1)$证明：$\because BE$∥$AC,AE$∥$BD$，
$\therefore$四边形$AEBO$是平行四边形，
又$\because$菱形$ABCD$对角线交于点$O$，
$\therefore AC\bot BD$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEBO$为矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC=16$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=8$，$OB=OD$，$AC\bot BD$，
$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore AB=OE=10$，
$\therefore OB=\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\therefore BD=2OB=12$，
$\therefore$菱形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 16\times 12=96$.