$(1)$证明：$\because CO=AO$，$DO=BO$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore BD\bot AC$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形；
$(2)$$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore AB=BC=OE=20$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\angle BCD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCO=30^{\circ}$，$\angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times 20=10$，
在$Rt\triangle BOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}=10\sqrt{3}$，
$\therefore BD=2OB=2\times 10=20$，$AC=2OC=2\times 10\sqrt{3}=20\sqrt{3}$，
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 20\times 20\sqrt{3}=200\sqrt{3}$.
故答案为：$200\sqrt{3}$.

$(1)$证明：$\because CO=AO$，$DO=BO$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore BD\bot AC$，
$\therefore$四边形$ABCD$是菱形；
$(2)$$\because$四边形$AEBO$是矩形，
$\therefore AB=BC=OE=20$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\angle BCD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCO=30^{\circ}$，$\angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times 20=10$，
在$Rt\triangle BOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}=10\sqrt{3}$，
$\therefore BD=2OB=2\times 10=20$，$AC=2OC=2\times 10\sqrt{3}=20\sqrt{3}$，
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times 20\times 20\sqrt{3}=200\sqrt{3}$.
故答案为：$200\sqrt{3}$.