题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
九年级数学解答题一般
题目
已知:如图,在平行四边形ABCDABCD中,对角线ACAC与BDBD相交于点EE,过点EE作ACAC的垂线交边BCBC于点FF,与ABAB的延长线交于点MM,且AB⋅AM=AE⋅ACAB\cdot AM=AE\cdot AC.
(1)(1)求证:四边形ABCDABCD是矩形；
(2)(2)若AB=6AB=6,AD=8AD=8,求线段BMBM的长度.
知识点：线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.2 矩形的性质与判定

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AB⋅AM=AE⋅AC\because AB\cdot AM=AE\cdot AC，
∴ABAE=ACAM\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AM}，
∵∠CAB=∠CAB\because \angle CAB=\angle CAB，
∴△ACB\therefore \triangle ACB∽△AME\triangle AME，
∴∠AEM=∠ABC=90∘\therefore \angle AEM=\angle ABC=90^{\circ}，
∴\therefore平行四边形ABCDABCD是矩形.
(2)(2)∵\because四边形ABCDABCD是矩形，
∴DE=BE\therefore DE=BE，AE=ECAE=EC，AC=BDAC=BD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^{\circ}，
∴AE=BE=DE=CE\therefore AE=BE=DE=CE，
∵AB=6\because AB=6，AD=8AD=8，
∴BD=62+82=10\therefore BD=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10，
∴AE=5\therefore AE=5，
∵AB⋅AM=AE⋅AC\because AB\cdot AM=AE\cdot AC，
∴6×(6+BM)=5×10\therefore 6\times \left(6+BM\right)=5\times 10，
∴BM=73\therefore BM=\frac{7}{3}.

解析

(1)(1)证明：∵AB⋅AM=AE⋅AC\because AB\cdot AM=AE\cdot AC，
∴ABAE=ACAM\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AM}，
∵∠CAB=∠CAB\because \angle CAB=\angle CAB，
∴△ACB\therefore \triangle ACB∽△AME\triangle AME，
∴∠AEM=∠ABC=90∘\therefore \angle AEM=\angle ABC=90^{\circ}，
∴\therefore平行四边形ABCDABCD是矩形.
(2)(2)∵\because四边形ABCDABCD是矩形，
∴DE=BE\therefore DE=BE，AE=ECAE=EC，AC=BDAC=BD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^{\circ}，
∴AE=BE=DE=CE\therefore AE=BE=DE=CE，
∵AB=6\because AB=6，AD=8AD=8，
∴BD=62+82=10\therefore BD=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10，
∴AE=5\therefore AE=5，
∵AB⋅AM=AE⋅AC\because AB\cdot AM=AE\cdot AC，
∴6×(6+BM)=5×10\therefore 6\times \left(6+BM\right)=5\times 10，
∴BM=73\therefore BM=\frac{7}{3}.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →