题目
如图,矩形
ABCD中,对角线
AC,
BD交于点
O,过点
B作
AC的平行线,过点
C作
BD的平行线,这两条平行线交于点
E.
(1)求证:四边形
OBEC是菱形；
(2)若
AB=2,
AD=23,求菱形
OBEC的面积.
知识点：菱形的性质、矩形的判定与性质章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.2 矩形的性质与判定
答案与解析
答案
(1)证明：
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形
OBEC是平行四边形，
∵四边形
ABCD是矩形，
∴BD=AC，
OB=21BD，
OC=21AC，
∴OB=OC，
∴四边形
OBEC是菱形；
(2)四边形
ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，
BC=AD=23，
OA=OC，
∴S△ABC=2S△OBC，
∵S菱形OBEC=2S△OBC，
∴S菱形OBEC=S△ABC=21AB⋅BC=21×2×23=23.
解析
(1)证明：
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形
OBEC是平行四边形，
∵四边形
ABCD是矩形，
∴BD=AC，
OB=21BD，
OC=21AC，
∴OB=OC，
∴四边形
OBEC是菱形；
(2)四边形
ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，
BC=AD=23，
OA=OC，
∴S△ABC=2S△OBC，
∵S菱形OBEC=2S△OBC，
∴S菱形OBEC=S△ABC=21AB⋅BC=21×2×23=23.
