$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD$∥$BC$且$AD=BC$，
$\because BE=CF$，
$\therefore BC=EF$，
$\therefore AD=EF$，
$\because AD$∥$EF$，
$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形，
$\because AE\bot BC$，
$\therefore \angle AEF=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEFD$是矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AD=5$，
$\therefore AD=AB=BC=5$，
$\because EC=2$，
$\therefore BE=5-2=3$，
在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
$\therefore DF=AE=4$，
在$Rt\triangle AEC$中，$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{5}$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD$∥$BC$且$AD=BC$，
$\because BE=CF$，
$\therefore BC=EF$，
$\therefore AD=EF$，
$\because AD$∥$EF$，
$\therefore$四边形$AEFD$是平行四边形，
$\because AE\bot BC$，
$\therefore \angle AEF=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEFD$是矩形；
$(2)$$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AD=5$，
$\therefore AD=AB=BC=5$，
$\because EC=2$，
$\therefore BE=5-2=3$，
在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
$\therefore DF=AE=4$，
在$Rt\triangle AEC$中，$AC=\sqrt{AE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{5}$.