如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8cm$,$BC=16cm$,点$P$从点$D$出发向点$A$运动,运动到点$A$停止,同时,点$Q$从点$B$出发向点$C$运动,运动到点$C$即停止,点$P$、$Q$的速度都是$1cm/s$.连接$PQ$、$AQ$、$CP$.设点$P$、$Q$运动的时间为$t s$.
$(1)$当$t$为何值时,四边形$ABQP$是矩形；
$(2)$当$t$为何值时,四边形$AQCP$是菱形；
$(3)$分别求出（2）中菱形$AQCP$的周长和面积.