$\because$四边形$ABCD$是正方形，

$\therefore AB=BC=CD=AD$，$\angle B=\angle BCD=90^{\circ}$，

$\because$点$E$、$F$分别是$AB$、$BC$的中点，

$\therefore BE=CF$，

在$\triangle BCE$与$\triangle CDF$中，

$\left\{\begin{array}{l}BE=CF\\\angle B=\angle DCF\\BC=CD\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle BCE$≌$\triangle CDF,\left(SAS\right)$，

$\therefore \angle ECB=\angle CDF$，

$\because \angle BCE+\angle ECD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ECD+\angle CDF=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CGD=90^{\circ}$，

$\therefore CE\bot DF$；故①正确；

同理可得：$AH\bot DF$，

$\therefore CE$∥$AH$

在$Rt\triangle CGD$中，$H$是$CD$边的中点，

$\therefore DK=GK$，

$\therefore AH$垂直平分$DG$，

$\therefore AG=AD$；

若$AG=DG$，则$\triangle ADG$是等边三角形，

则$\angle ADG=60^{\circ}$，$\angle CDF=30^{\circ}$，

而$CF=\dfrac{1}{2}CD\neq DF$，

$\therefore \angle CDF\neq 30^{\circ}$，

$\therefore \angle ADG\neq 60^{\circ}$，

$\therefore AG\neq DG$，故②错误；

$\therefore \angle DAG=2\angle DAH$，

同理：$\triangle ADH$≌$\triangle DCF$，

$\therefore \angle DAH=\angle CDF$，

$\because GH=DH$，

$\therefore \angle HDG=\angle HGD$，

$\therefore \angle GHC=\angle HDG+\angle HGD=2\angle CDF$，

$\therefore \angle CHG=\angle DAG$；故③正确；

正确的结论有$2$个，

故选：$C$.